TEDGlobal 2013
Arthur Benjamin: The magic of Fibonacci numbers
Arthur Benjamin: A magia da sequência Fibonacci
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A matemática é lógica, funcional e simplesmente ... incrível. O matemágico Arthur Benjamin explora as propriedades ocultas desse conjunto estranho e maravilhoso de números, a sequência Fibonacci. (E faz-nos lembrar que a matemática também pode ser inspiradora!)
Arthur Benjamin - Mathemagician
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty. Full bio
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00:12
So why do we learn mathematics?
0
613
3039
Por que é que aprendemos matemática?
00:15
Essentially, for three reasons:
1
3652
2548
Essencialmente, por três razões:
00:18
calculation,
2
6200
1628
cálculo,
00:19
application,
3
7828
1900
aplicação,
00:21
and last, and unfortunately least
4
9728
2687
e por último, e infelizmente a menor
00:24
in terms of the time we give it,
5
12415
2105
em termos de quanto tempo
nos dedicamos a ela,
nos dedicamos a ela,
00:26
inspiration.
6
14520
1922
inspiração.
00:28
Mathematics is the science of patterns,
7
16442
2272
A matemática é a ciência dos padrões
00:30
and we study it to learn how to think logically,
8
18714
3358
e nós estudamo-la para aprendermos
a pensar
a pensar
00:34
critically and creatively,
9
22072
2527
lógica, crítica e criativamente,
00:36
but too much of the mathematics
that we learn in school
that we learn in school
10
24599
2926
mas muito da matemática que aprendemos
na escola
na escola
00:39
is not effectively motivated,
11
27525
2319
não é efetivamente motivante,
00:41
and when our students ask,
12
29844
1425
e quando nossos estudantes perguntam:
00:43
"Why are we learning this?"
13
31269
1675
"Por que é que aprendemos isto?"
00:44
then they often hear that they'll need it
14
32944
1961
frequentemente eles ouvem
que precisarão disto
que precisarão disto
00:46
in an upcoming math class or on a future test.
15
34905
3265
na próxima aula de matemática
ou num teste futuro.
ou num teste futuro.
00:50
But wouldn't it be great
16
38170
1802
Mas não seria ótimo
00:51
if every once in a while we did mathematics
17
39972
2518
que, de vez enquanto,
praticássemos a matemática
praticássemos a matemática
00:54
simply because it was fun or beautiful
18
42490
2949
simplesmente por ser divertida ou bela
00:57
or because it excited the mind?
19
45439
2090
ou por excitar a nossa mente?
00:59
Now, I know many people have not
20
47529
1722
Agora, eu sei que muitas pessoas não
01:01
had the opportunity to see how this can happen,
21
49251
2319
tiveram a oportunidade de ver como é que
isso pode acontecer
isso pode acontecer
01:03
so let me give you a quick example
22
51570
1829
então deixem-me dar-vos um exemplo rápido
01:05
with my favorite collection of numbers,
23
53399
2341
usando a minha coleção preferida de números,
01:07
the Fibonacci numbers. (Applause)
24
55740
2728
a sequência Fibonacci.
(Aplausos)
(Aplausos)
01:10
Yeah! I already have Fibonacci fans here.
25
58468
2052
Sim! Eu já aqui tenho fãs de Fibonacci.
01:12
That's great.
26
60520
1316
Isso é ótimo.
01:13
Now these numbers can be appreciated
27
61836
2116
Estes números podem ser apreciados
01:15
in many different ways.
28
63952
1878
de várias maneiras.
01:17
From the standpoint of calculation,
29
65830
2709
Pela ótica do cálculo,
01:20
they're as easy to understand
30
68539
1677
eles são tão fáceis de entender
01:22
as one plus one, which is two.
31
70216
2554
como 1 + 1, que é igual a 2.
01:24
Then one plus two is three,
32
72770
2003
Logo, 1 + 2 é igual a 3,
01:26
two plus three is five, three plus five is eight,
33
74773
3014
2 + 3 é igual a 5, 3 + 5 são 8,
01:29
and so on.
34
77787
1525
e por aí adiante.
01:31
Indeed, the person we call Fibonacci
35
79312
2177
De facto, a pessoa a quem
chamamos de Fibonacci
chamamos de Fibonacci
01:33
was actually named Leonardo of Pisa,
36
81489
3180
chamava-se, na verdade, Leonardo de Pisa
01:36
and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
37
84669
3053
e estes números aparecem
no seu livro "Liber Abaci"
no seu livro "Liber Abaci"
01:39
which taught the Western world
38
87722
1650
que ensinou ao mundo ocidental
01:41
the methods of arithmetic that we use today.
39
89372
2827
os métodos aritméticos que usamos hoje em dia.
01:44
In terms of applications,
40
92199
1721
Em termos de aplicações,
01:45
Fibonacci numbers appear in nature
41
93920
2183
a sequência Fibonacci aparece na Natureza
01:48
surprisingly often.
42
96103
1857
com uma surpreendente frequência.
01:49
The number of petals on a flower
43
97960
1740
O número de pétalas de uma rosa
01:51
is typically a Fibonacci number,
44
99700
1862
é uma típica sequência Fibonacci,
01:53
or the number of spirals on a sunflower
45
101562
2770
ou o número de espirais num girassol
01:56
or a pineapple
46
104332
1411
ou num ananás
01:57
tends to be a Fibonacci number as well.
47
105743
2394
tendem também a ser uma sequência Fibonacci.
02:00
In fact, there are many more
applications of Fibonacci numbers,
applications of Fibonacci numbers,
48
108137
3503
Na verdade, existem muitas outras aplicações
para a sequência Fibonacci,
para a sequência Fibonacci,
02:03
but what I find most inspirational about them
49
111640
2560
mas o que eu acho mais inspirador nelas
02:06
are the beautiful number patterns they display.
50
114200
2734
é o belo padrão numérico que ela apresentam.
02:08
Let me show you one of my favorites.
51
116934
2194
Vou mostrar-vos um dos meus preferidos.
02:11
Suppose you like to square numbers,
52
119128
2221
Suponhamos que gostam de elevar
números ao quadrado,
números ao quadrado,
02:13
and frankly, who doesn't? (Laughter)
53
121349
2675
e francamente, quem não gosta?
(Risos)
(Risos)
02:16
Let's look at the squares
54
124040
2240
Vamos olhar para os quadrados
02:18
of the first few Fibonacci numbers.
55
126280
1851
dos primeiros números da sequência Fibonacci.
02:20
So one squared is one,
56
128131
2030
Logo, 1² é 1,
02:22
two squared is four, three squared is nine,
57
130161
2317
2² são 4, 3² são 9
02:24
five squared is 25, and so on.
58
132478
3173
5² são 25, e por aí adiante.
02:27
Now, it's no surprise
59
135651
1901
Bem, não é surpresa
02:29
that when you add consecutive Fibonacci numbers,
60
137552
2828
que quando somamos números consecutivos
da sequência Fibonacci
da sequência Fibonacci
02:32
you get the next Fibonacci number. Right?
61
140380
2032
obtemos o número seguinte
da sequência. Certo?
da sequência. Certo?
02:34
That's how they're created.
62
142412
1395
Foi assim que eles foram criados.
02:35
But you wouldn't expect anything special
63
143807
1773
Mas vocês não esperam que aconteça
02:37
to happen when you add the squares together.
64
145580
3076
nada de especial quando somam
os seus quadrados.
os seus quadrados.
02:40
But check this out.
65
148656
1346
Mas vejam isto.
02:42
One plus one gives us two,
66
150002
2001
1 + 1 é igual a 2,
02:44
and one plus four gives us five.
67
152003
2762
e 1 + 4 dá-nos 5.
02:46
And four plus nine is 13,
68
154765
2195
E 4 + 9 são 13,
02:48
nine plus 25 is 34,
69
156960
3213
9 + 25 são 34,
02:52
and yes, the pattern continues.
70
160173
2659
e sim, o padrão continua.
02:54
In fact, here's another one.
71
162832
1621
Na verdade, aqui está outro.
02:56
Suppose you wanted to look at
72
164453
1844
Suponham que queriam olhar para
02:58
adding the squares of
the first few Fibonacci numbers.
the first few Fibonacci numbers.
73
166297
2498
a adição dos quadrados dos primeiros números
da sequência Fibonacci.
da sequência Fibonacci.
03:00
Let's see what we get there.
74
168795
1608
Vejamos o que acontece.
03:02
So one plus one plus four is six.
75
170403
2139
Logo, 1 + 1 + 4 são 6.
03:04
Add nine to that, we get 15.
76
172542
3005
Somem 9 a esse resultado e teremos 15.
03:07
Add 25, we get 40.
77
175547
2213
Somem 25 e teremos 40.
03:09
Add 64, we get 104.
78
177760
2791
Somem 64 e teremos 104.
03:12
Now look at those numbers.
79
180551
1652
Agora olhem para estes números.
03:14
Those are not Fibonacci numbers,
80
182203
2384
Estes não são números de Fibonacci,
03:16
but if you look at them closely,
81
184587
1879
mas se vocês olharem para eles
mais atentamente,
mais atentamente,
03:18
you'll see the Fibonacci numbers
82
186466
1883
verão a sequência Fibonacci
03:20
buried inside of them.
83
188349
2178
enterrada dentro deles
03:22
Do you see it? I'll show it to you.
84
190527
2070
Conseguem ver? Vou mostrar-vos.
03:24
Six is two times three, 15 is three times five,
85
192597
3733
6 é 2 x 3, 15 é 3 x 5,
03:28
40 is five times eight,
86
196330
2059
40 é 5 x 8,
03:30
two, three, five, eight, who do we appreciate?
87
198389
2928
2, 3, 5, 8, de que é que estamos a falar?
03:33
(Laughter)
88
201317
1187
(Risos)
03:34
Fibonacci! Of course.
89
202504
2155
Fibonacci! É claro.
03:36
Now, as much fun as it is to discover these patterns,
90
204659
3783
Agora, por mais divertido que seja
descobrir esses padrões,
descobrir esses padrões,
03:40
it's even more satisfying to understand
91
208442
2482
é ainda mais gratificante entender
03:42
why they are true.
92
210924
1958
por que é que eles são verdadeiros.
03:44
Let's look at that last equation.
93
212882
1889
Vamos olhar para a última equação.
03:46
Why should the squares of one, one,
two, three, five and eight
two, three, five and eight
94
214771
3868
Por que é que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8
03:50
add up to eight times 13?
95
218639
2545
somados, resultam em 8 x 13?
03:53
I'll show you by drawing a simple picture.
96
221184
2961
Vou mostrar-vos através de um simples desenho.
03:56
We'll start with a one-by-one square
97
224145
2687
Começamos com um quadrado de 1 x 1
03:58
and next to that put another one-by-one square.
98
226832
4165
em seguida colocamos outro quadrado de 1 x 1.
04:02
Together, they form a one-by-two rectangle.
99
230997
3408
Juntos, eles formam um retângulo de 1 x 2.
04:06
Beneath that, I'll put a two-by-two square,
100
234405
2549
Por baixo, vou colocar um quadrado de 2 x 2,
04:08
and next to that, a three-by-three square,
101
236954
2795
e ao lado dele, um quadrado de 3 x 3,
04:11
beneath that, a five-by-five square,
102
239749
2001
por baixo, um quadrado de 5 x 5,
04:13
and then an eight-by-eight square,
103
241750
1912
e então um quadrado de 8 x 8,
04:15
creating one giant rectangle, right?
104
243662
2572
criando um retângulo gigante, certo?
04:18
Now let me ask you a simple question:
105
246234
1916
Agora, deixem-me fazer-vos
uma pergunta simples:
uma pergunta simples:
04:20
what is the area of the rectangle?
106
248150
3656
qual é a área do retângulo?
04:23
Well, on the one hand,
107
251806
1971
Bem, por um lado,
04:25
it's the sum of the areas
108
253777
2530
é a soma das áreas
04:28
of the squares inside it, right?
109
256307
1866
dos quadrados dentro dele, certo?
04:30
Just as we created it.
110
258173
1359
Exatamente como o construímos.
04:31
It's one squared plus one squared
111
259532
2172
É o quadrado de 1, mais o quadrado de 1,
04:33
plus two squared plus three squared
112
261704
2233
mais o quadrado de 2, mais o quadrado de 3,
04:35
plus five squared plus eight squared. Right?
113
263937
2599
mais o quadrado de 5 ,
mais o quadrado de 8. Certo?
mais o quadrado de 8. Certo?
04:38
That's the area.
114
266536
1857
Esta é a área.
04:40
On the other hand, because it's a rectangle,
115
268393
2326
Por outro lado, por ser um retângulo,
04:42
the area is equal to its height times its base,
116
270719
3648
a área é igual à altura vezes a base,
04:46
and the height is clearly eight,
117
274367
2047
e a altura é claramente 8,
04:48
and the base is five plus eight,
118
276414
2903
e a base é 5 + 8,
04:51
which is the next Fibonacci number, 13. Right?
119
279317
3938
que é o próximo número da
sequência Fibonacci, 13. Certo?
sequência Fibonacci, 13. Certo?
04:55
So the area is also eight times 13.
120
283255
3363
Logo a área é também, 8 x 13.
04:58
Since we've correctly calculated the area
121
286618
2262
Já que calculámos corretamente a área
05:00
two different ways,
122
288880
1687
de duas formas diferentes,
05:02
they have to be the same number,
123
290567
2172
elas têm de ser o mesmo número,
05:04
and that's why the squares of one,
one, two, three, five and eight
one, two, three, five and eight
124
292739
3391
é o por isso que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8
05:08
add up to eight times 13.
125
296130
2291
somados, resultam em 8 x 13.
05:10
Now, if we continue this process,
126
298421
2374
Então, se continuarmos este processo,
05:12
we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
127
300795
3978
criaremos retângulos de 13 x 21,
05:16
21 by 34, and so on.
128
304773
2394
21 x 34, e por aí adiante.
05:19
Now check this out.
129
307167
1409
Agora, vejam só.
05:20
If you divide 13 by eight,
130
308576
2193
Se vocês dividirem 13 por 8,
05:22
you get 1.625.
131
310769
2043
obterão 1,625.
05:24
And if you divide the larger number
by the smaller number,
by the smaller number,
132
312812
3427
E se vocês dividirem
o número maior pelo número menor,
o número maior pelo número menor,
05:28
then these ratios get closer and closer
133
316239
2873
então essas proporções
vão ficando cada vez mais próximas
vão ficando cada vez mais próximas
05:31
to about 1.618,
134
319112
2653
de cerca de 1,618.
05:33
known to many people as the Golden Ratio,
135
321765
3301
conhecidas por muitos como a Proporção Áurea,
05:37
a number which has fascinated mathematicians,
136
325066
2596
um número que tem fascinado matemáticos,
05:39
scientists and artists for centuries.
137
327662
3246
cientistas e artistas durante séculos.
05:42
Now, I show all this to you because,
138
330908
2231
Agora, eu mostrei-vos tudo isto porque,
05:45
like so much of mathematics,
139
333139
2025
como muitas coisas na matemática,
05:47
there's a beautiful side to it
140
335164
1967
há um lado belo nisso
05:49
that I fear does not get enough attention
141
337131
2015
que eu receio que não desperte muita atenção
05:51
in our schools.
142
339146
1567
nas escolas.
05:52
We spend lots of time learning about calculation,
143
340713
2833
Gastamos muito tempo a aprender sobre o cálculo,
05:55
but let's not forget about application,
144
343546
2756
mas não nos esqueçamos da aplicação,
05:58
including, perhaps, the most
important application of all,
important application of all,
145
346302
3454
incluindo, talvez, a mais importante
aplicação de todas,
aplicação de todas,
06:01
learning how to think.
146
349756
2076
aprender a pensar.
06:03
If I could summarize this in one sentence,
147
351832
1957
Se eu pudesse resumir tudo isto
numa frase apenas,
numa frase apenas,
06:05
it would be this:
148
353789
1461
seria esta:
06:07
Mathematics is not just solving for x,
149
355250
3360
A matemática não é apenas a solução para x,
06:10
it's also figuring out why.
150
358610
2925
é também descobrir o porquê.
06:13
Thank you very much.
151
361535
1815
Muito obrigado.
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(Applause)
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(Aplausos)
ABOUT THE SPEAKER
Arthur Benjamin - MathemagicianUsing daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.
Why you should listen
Arthur Benjamin makes numbers dance. In his day job, he's a professor of math at Harvey Mudd College; in his other day job, he's a "Mathemagician," taking the stage in his tuxedo to perform high-speed mental calculations, memorizations and other astounding math stunts. It's part of his drive to teach math and mental agility in interesting ways, following in the footsteps of such heroes as Martin Gardner.
Benjamin is the co-author, with Michael Shermer, of Secrets of Mental Math (which shares his secrets for rapid mental calculation), as well as the co-author of the MAA award-winning Proofs That Really Count: The Art of Combinatorial Proof. For a glimpse of his broad approach to math, see the list of research talks on his website, which seesaws between high-level math (such as his "Vandermonde's Determinant and Fibonacci SAWs," presented at MIT in 2004) and engaging math talks for the rest of us ("An Amazing Mathematical Card Trick").
Arthur Benjamin | Speaker | TED.com